Điều chưa biết về những con số

Chúng ta hằng ngày được tiếp xúc với các con số, tuy nhiên không hẳn ai cũng biết về những điều thú vị đằng sau những con số đó! 

Hệ đếm (thiên kỷ III trước CN)
Như các bảng bằng đất sét tìm thấy ở Sure và Uruk (hiện nay là Warka, Irac) hoặc muộn hơn nhiều, ở Nippur (Babilon, 2200-13550) cho thấy, hệ đếm đã được ghi chép lại vào thiên kỷ III trước CN. Hệ đếm Babilon thông minh là một hệ đếm cơ số 60. Cách tính thời gian của chúng ta là bắt nguồn từ đó. Không tồn tại số không, những đơn vị vắng mặt (thiếu), đơn giản được biểu thị bằng một chỗ khuyết.
Còn hệ đếm cổ của người Maya là một hệ thống cơ số 20 theo 10 ngón tay và 10 ngón chân. Hệ thống của họ đã là một hệ đếm theo vị trí và có một số không ở đầu cùng vốn không phải là một toán tử.
Vào thế kỷ V trước CN, người Hy lạp đã sử dụng các chữ trong bảng chữ cái. Đối với các số hàng nghìn người ta lấy lại chín chữ cái đầu tiên kèm theo một dấu phẩy bên trái các chữ cái đó (a có giá trị là 1 và ,a có giá trị là 1000). Hệ đếm này, vốn không có số không, đã được sử dụng suốt một thiên kỷ. Người Hêbrơ và người Arap đã làm cho hệ thống đếm này phù hợp với bảng chữ cái của họ. lúc bấy giờ các tính toán được thực hiện với các bàn tính, dụng cụ gảy bằng tay gồm nhiều hàng. Ở đó các chữ số biểu thị bằng những viên sỏi (từ “tính toán” bắt nguồn từ calculus, có nghĩa là viên sỏi).

Hệ đếm hiện nay (thế kỷ V)
Chính vào thế kỷ V sau CN, ở Ấn Độ đã xuất hiện hệ đếm thập phân, sử dụng mười chữ số từ 0 đến 9 như chúng ta đã biết hiện nay. Năm 829, nhà bác học M.ibn Musa Khwarizm’i (780-850) đã xuất bản một cuốn sách đại số, ở đó ông đã chấp nhận hệ đếm thập phân. Tu sĩ xứ Auvergne là Gorbert đã bắt đầu tìm hiểu các chữ số “Arap” trong chuyến du ngoạn (980) tới Cordoue ở Tây Ban Nha và đã có thể bắt đầu truyền bá những ký hiệu đó khi đã trở thành Giáo hoàng Sylvestre II vào tháng 4 năm 999. Nhưng phải chờ tới L. Fibonacci, còn gọi là Léonard de Pise, mà nhờ có tác phẩm Liber Abaci của ông viết năm 1202, thì khoa học Arập mới được truyền bá ở châu Âu. Vào năm 1440, với ự phát minh ra nghề in thì mười chữ số mới có được hình dạng cố định cuối cùng.

Số không (thế kỷ IV trước CN)
Hệ đếm Babilon được hoàn thiện vào thế kỷ IV trước CN bở sự xuất hiện của số không trong các văn bản toán học, hoặc ở đầu một con số, hoặc ở giữa, nhưng không bao giờ ở cuối. Từ số không (zero) bắt nguồn từ từ Synya, có nghĩa là “không có gì” trong tiếng Phạn; nó trở thành sifr trong tiếng Arap và được L. Fibonacci La tinh hoa thành zephirum. Nó được gọi là số không (zero) vào năm 1491 trong một khảo luận ở Florence.

Số nguyên tố (thế kỷ II trước CN)
Sau Euclide, vốn vào thế kỷ II trước CN đã chứng minh rằng tập hợp số nguyên tố và vô hạn, thì sàng Ératosthène (khoảng 284-192) là phương pháp đầu tiên được sử dụng trong việc tìm các số nguyên tố trong một giới hạn nào đó.
Nhưng chính từ “định lý nhỏ” của Fermat (1640) mà E. Lucas người Pháp, vào năm 1876 đã hiệu chỉnh một số phương pháp nghiên cứu tính số nguyên tố của một số số lớn. Số nguyên tố lớn nhất đã biết là (2 ^216091 – 1) - khoảng 65050 chữ số (đây là con số lớn nhất vào thời điểm cuốn sách này ra đời, hiện nay người ta đã tìm được những số nguyên tố lớn hơn thế nhiều – ngocson52), nó được một nhóm nhà kỹ thuật của hãng dầu mỏ Chevron ở Houston (Taxas), khám phá ra một cách ngẫu nhiên vào năm 1985. Trong khi thử một siêu máy tính họ đã phát hiện ra số nguyên tố mới đó: phải mất vài chục trang sách mowis viết hết con số đó.

Số thập phân (thế kỷ XVI)  Cho đến cuối thế kỷ XVI người ta mới chỉ phát triển cơ số 10 cho phần nguyên của một số, phần thập phân chỉ được biểu thị dưới dạng phân số hoặc trong hệ cơ số 60 trong các đơn vị thời gian và góc.
Năm 1579 F. Viète đã tuyên bố rằng trái với các phần nghìn, phầm trăm, phần chục, các phần sáu mươi chỉ được sử dụng ít và S. Stevin năm 1582 đã đề nghị sử dụng các số thập phân trong các tính toán; nhưng các cách viết vẫn rất khác nhau trong suốt thế kỷ XVII.
Nhà toán học và vật lý xứ Flandre là S. Stevin (1548-1620) cũng đã đề nghị sự phân chia thập phân các đơn vị đo lường. Nhưng phải chờ mãi tới Cách mạng Pháp mới có được hệ mét thập phân (20/12/1799).

Số vô tỉ (thế kỷ IV trước CN)
Trong khi chứng minh không thể viết sqrt(2) dưới dạng một phân số thì Aristote (thế kỷ IV trước CN) đã tìm ra các số vô tỉ (mà Pythagore đã linh cảm được), được gọi tạm là số “vô ước”.
Người ta đã phân biệt được số đại số như sqrt(2) và số siêu việt như pi và “e” vào thế kỷ XVII. Năm 1872 Ch. Hermite người Pháp đã chứng minh tính sieu việt của e và năm 1882 F. Lindemann người Đức đã chứng minh tính siêu việt của pi.

Số pi (thế kỷ II trước CN)
Sử dụng các đa giác 96 cạnh nội tiếp và bàng tiếp đường tròn, nhà bác học Hy lạp Archimède (287-212 trước CN) đã chứng minh rằng số pi nằm giữa (3 + 10/71) và (3 + 10/70). Vậy nên khi Ptôlémée (nhà toán học Hy lạp thế kỷ II sau CN) lấy giá trị 3,1416 cho số pi, ông đã biện minh rằng nó gần với giá trị trung bình của hai giá trị cận của Archimède. Năm 1874, W. Schanks, người Anh, đã tính được 707 chữ số thập phân của số pi, đã được khắc ở Cung Phát Minh (Palais de Découverte) ở Paris. 527 chữ số đầu tiên là chính xác còn những chữ số tiếp theo là sai. Từ đó nhờ có các máy tính người ta đã tính được hàng nghìn chữ số thập phân của số pi.

Số hoàng kim (thế kỷ III trước CN)
Số hoàng kim, nghiệm của phương trình 1/x = x/(1+x), bằng (1+sqrt(5))/2 ~ 1,618 và tồn tại trong phép phân chia không đối xứng mà tỷ số giữa phần lớn và phần nhỏ bằng tỷ số giữa hai phần và phần lớn. Người ta tìm thấy số đó trước Euclide, nhưng chính Euclide vào thế kỷ III trước CN đã biến nó thành bài toán nổi tiếng khi tìm cách chia một đoạn thẳng sao cho phàn lớn là trung bình tỉ lệ của phần nhỏ và đoạn thẳng hoặc “phép chia hoàng kim”. Tính hài hòa dựa trên số hoàng kim đã được nghiên cứu ở nhiều bộ môn nghệ thuật: trong kiến trúc (Phidias với nhà thờ Parthénon ở thế kỷ V trước CN, Alberti ở thế kỷ XV, Le Corbusier ở thế kỷ XX); trong âm nhạc (sự nghiên cứu theo thuyết Pythagore về quãng âm); trong hội họa (L. de Vinci, Raphael).

Số Fractan (1962)
Được B. Mandelbrot, một người Pháp gốc Ba Lan, phát minh ra ra năm 1962. Các số fractan có khả năng trở thành một công cụ toán học để rút ra những quy luật tổ chức của tự nhiên.
Khái niệm fractan đặc biệt có ích trong việc mô tả những cấu trúc mà mỗi bộ phận của nó cho dù kích thước như thế nào đi nữa thì vẫn tương tự với toàn cấu trúc. Ví dụ: phải chăng mỗi cành của một cái cây không đại diện cho toàn bộ cả cái cây?
Các số fractan mới xuất hiện trong toán học có cơ sở ở hai định luật: định luật tương tự (autosimilarité), bộ phận tương tự với toàn thể); định luật số chiều fractan nói rằng các tập hợp số fractan có số chiều phân đoạn (không nguyên) và mảnh nọ tương ứng với mảnh kia. Một trong những áp dụng gây ấn tượng mạnh nhất của các số fractan liên quan đến sự tổng hợp các hình ảnh nhờ máy tính.

Số "không thể có" (thế kỷ XVIII)
Chính nhờ có nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) mà ta có định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số “không thể có” hoặc “số ảo” trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai c]ủa -1.
Cho tới năm 1746 người ta đã sử dụng các số ảo mà không biết nhiều về cấu trúc của chúng. Nhưng chính nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm đó đã xác định được dạng tổng quát “a+b*sqrt(-1) của chúng, đông thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu “i” để chỉ căn bậc hai của -1, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu đó.

Tập hợp số thực(thế kỷ XIX)
Vào thế kỷ VI trước CN, nhà toán học và thiên văn học Hy lạp Eudoxe đã thử viết ra một tập hợp không chỉ gồm số hữu tỷ mà ông cảm thấy chưa đủ. Nhưng ông đã không thành công cũng như một số nhà toán học thời cổ vốn tỏ thái độ rất ngập ngừng đối với số vô tỷ. mãi vào thế kỷ XIX, nà toán học Nga G. Cantor (1845-1918) mới nghiên cứu các đại lượng vô tỷ và “tính liên tục”, khái niệm giải thích cái vẻ liên tục của đoạn thẳng được tạo nên bởi vô hạn các điểm phân biệt, mỗi điểm biểu thị một số. Chính khi đó đã xuất hiện nhiều nghịch lý đặt lại vấn đề về các khái niệm trực giác.
Cantor ý thức được sự đối đầu với lương tri truyền thống, đã phải tiến hành một cuộc đấu tranh nhiều năm để thuyết phục những người cùng thời với mình. Khi ông mất vào 6/1/1918, sự nghiệp của ông trở nên phổ cập rộng