ĐỊNH LÝ MÊ-NÊ-LA-UYT VÀ CÁC BÀI TOÁN

I/ ĐỊNH LÝ MÊ-NÊ-LA-UYT VÀ CÁC BÀI TOÁN.
Dưới đây là nội dung Định lý và các bài toán được giải theo hai cách nhằm giúp ta thấy được cái ưu khi sử dụng định lý. Đây cũng là biện pháp chính của sáng kiến - phương pháp suy nghĩ sâu sắc và sáng tạo ( được giới thiệu theo cấp độ từ dễ đến khó để bạn đọc tiện theo dõi ), luyện tập thói quen tò mò, thích khám phá ra những cái mới, cái đó cần thiết để chúng ta chẳng những trở thành một học sinh giỏi toán mà còn giỏi ở bất kì một môn học nào khác.

1/ Định lí Mê-nê-la-uyt: 
Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB sao cho: hoặc cả ba điểm nằm trên phần kéo dài của ba cạnh; hoặc một điểm nằm trên phần kéo dài của một cạnh, còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là: (1)
Chứng minh: MBMC.NCNA.PAPB=1
Trường hợp 1: Trong ba điểm M, N, P có đúng hai điểm thuộc cạnh của tam giác, giả sử N và P.
Phần thuận: Giả sử M, N, P thẳng hàng. Ta chứng minh (1).MBMC.NCNA. PAPB=1 (2)
Kẽ BD // AC ( D ∈ MN). Ta có: PAPB=ANBD , MBMC=BDNC
Suy ra (1)

Phần đảo: Ngược lại, giả sử N, P nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác ABC; M nằm trên phần kéo dài của BC. Gọi M' là giao điểm của NP và BC, suy ra M' nằm trên phần kéo dài của BC. 
Vì M' , N, P thẳng hàng nên ta có: (1)⇒(2) 
Từ (1) và (2) suy ra . Hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Trường hợp 2: Cả ba điểm M, N, P đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh chứng minh tương tự.

2/ Bài tập vận dụng:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến BD ( D  AC). Trên tia AB lấy một điểm E sao cho AE = 2BE; CE cắtBD tại F. Chứng minh .
Lời giải:
Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt). 
Gọi M là trung điểm của AE, suy ra DM là đường trung bình của tam giác AEC
và EF // MD F là trung điểm của BD . EF là đường trung bình của tam giác BMD . (đpcm) 
Cách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt).
Xét tam giác EAC với ba điểm B, F, D thẳng hàng. 
Ta có: EFFC.DCDA.BABE=1  EFFC=BABE=13  EFEC=14 (đpcm).

Bài toán 2: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua M và song song với phân giác của góc BAC cắt AC, AB lần lượt ở E và F. Chứng minh rằng CE = BF.
Lời giải:
Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt). Ta giải vắn tắt như sau:
Từ AD // FM và ME // AD 
BABD=BFBM (1) và CECM=CACD (2) 
Mặt khác theo tính chất đường phân giác có: BABD=CACD (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra BFBM=CECM  BF=CE (do BM = CM ).

Cách 2: (dùng Mê-nê-la-uyt) 
Xét tam giác ABC với ba điểm F, E, M thẳng hàng ta có:
EAEC.MCMB.FBFA=1

Do AEFˆ=AFEˆ=BACˆ2 nên ∆ AEF cân ở A. Suy ra AE = AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra FB=EC. (đpcm)