Home » Toán - Math » Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

23/2/14

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

21:39

Nguyễn Phương

Trong kì thi HSG hay là Giải toán trên mạng thì hệ thức Vi-ét được ứng dụng rất nhiều. Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó như thế nào nhé:

Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:

Nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình

$ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0$

thì

${\begin{cases}{x_{1}x_{2}=P=c/a}\\{x_{1}+x_{2}=S=-b/a}\\\end{cases}}$

Phương trình đa thức bất kì :

Cho phương trình:

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0,\,a_{n}\neq 0$

Cho x₁, x₂,..., x_n là n nghiệm của phương trình trên, thì:

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})\,$

Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:

${\begin{cases}{a=a_{n}}\\{-a(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=a_{{n-1}}}\\{\ldots }\\{\ldots }\\{(-1)^{{n-1}}a(x_{1}x_{2}...x_{{n-1}}+x_{1}x_{2}...x_{{n-2}}x_{n}+...+x_{2}x_{3}...x_{n})=a_{1}}\\{(-1)^{{n}}a(x_{1}x_{2}...x_{n})=a_{0}}\\\end{cases}}$

và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là $a_{{n-k}}\,$ còn vế trái được tính như sau:

$(-1)^{{n-k}}a\,$

nhân với

Tổng của: các tích từng cụm (n-k) các nghiệm của phương trình trên.

Ví dụ : Phương Trình bậc 3

- Nếu x₁, x₂, x₃ là nghiệm của phương trình

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$

thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a₃ tức a, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:

${\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}=-d/a}\\\end{cases}}$

Định lí vi-et đảo :

Nếu ta có hai số u, v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình :

X² – SX + P = 0

Bài tập :

Bài 1 : Cho phương trình: x² + mx + 2m – 4 = 0 (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa: $x_1^2+x_2^2=4$

GIẢI.

a)

Δ = b² – 4ac = m² – 4.1.( 2m – 4) = m² – 8m + 16

= m² – 2.4.m + 4² = (m – 4)² ≥ 0 với mọi m.

=> Δ≥ 0 với mọi m.

=> phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) theo định lí viet :

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-m$

$x_1.x_2=\frac{c}{a}=2m-4$

Theo đề bài :

$x_1^2+x_2^2=4$

<=> $(x_1+x_2)^2-2 x_1.x_2=4$

=> $m^2-2(2m-4)=4$

<=> $m^2-4m+4=0$

<=> $(m-2)^2=0$

<=> m – 2 = 0

<=> m = 2

Vậy : m = 2.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

Bài 1 :

Cho phương trình :

a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x_1^2+x_2^2$

Bài 2 :

Cho phương trình : x² – 2(m – 1) -2m + 5 = 0 (với m là tham số)

a) Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Định m để : $x_1+x_2+2 x_1.x_2 \leq 26$

Bài 3: cho phương trình : (m -1)x²+ 2(m -1)x – m = 0

Định m để phương trình có nghiệm kép, tính nghiệm kép này.
Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.

Bài 4 : cho phương trình : x²- 2(m +1)x + m²– m + 5= 0

Định m để phương trình có nghiệm
Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.

Bài 5 : cho phương trình : x²- 2mx + m²– m – 3 = 0

Định m để phương trình có hai nghiệm thỏa : x₁² + x₂² = 6

CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT!

2 Nhận xét :

Thêm nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét ( Atom )